Question

如图，点为内部的一点，连接、、，，，且，若，，则线段的长为__________．

Answer

【解析】

延长AD交BC于F，过B作BE⊥AD于E，得到△BDE是等腰直角三角形，则，然后证明△BEF≌△CDF，得到BF=CF，EF=DF；延长DA到G，使得AG=BA，然后利用三角形函数的关系，得到边的关系，利用勾股定理构造方程，求出DE的长度，然后求出CF，即可得到BC的长度.

【解析】
如图，延长AD交BC于F，过B作BE⊥AD于E，

∵AD⊥CD，，

∴，

∴，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∵∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，

∴△BEF≌△CDF，

∴BF=CF，EF=DF；

设，则EF=DF=，，

∵∠ABD+∠BAE=∠BDE=45°，∠ABD+2∠ACD=45°，

∴∠BAE=2∠ACD.

在Rt△ADC中，tan∠ACD=，

在Rt△ABE中，tan∠BAE=；

延长DA到G，使得AG=BA，

∴∠G=∠ABG=，

∴∠G=∠ACD，

在Rt△BEG中，tan∠G=，

∴，

解得：，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理，得：，

即，

整理得：，

∴，或，

∵，

∴，

即DE=CD=3，

∴EF=DF=，

∴，

∴.

故答案为：.