Question

如图，四边形内接于，平分．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，，弦交于点，若，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，连接，，若，，求线段的长度．

Answer

（1）见详解；（2）见详解；（3）.

【解析】

（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AD与N，由角平分线定理得到OM=ON，然后即可得到AB=AD；

（2）在FC上截取CP=BC，连接AP、AC，由CFBC=DF，得到PF=DF，然后证明△ABC≌△APC，得到AB=AP=AD，由等腰三角形三线合一定理，即可得到结论；

（3）作BT∥CD，分别交AD、AE于点T、H，则∠ATB=∠D，根据平行四边形性质，得到边的关系，然后求出AT=3，然后证明△AHT∽△BHG，得到，然后根据线段的比例关系，得到，，进而求出AG的长度.

（1）证明：如图1，作OM⊥AB于M，ON⊥AD与N，

∵平分，

∴OM=ON，

∴AM=AN，

∴AB=AD；

（2）证明：如图2，在FC上截取CP=BC，连接AP、AC，

∵CFCP=PF，则CFBC=PF，

∵CFBC=DF，

∴PF=DF，

∵AB=AD，

∴∠ACB=∠ACD，

∵CP=BC，AC=AC，

∴△ABC≌△APC（SAS），

∴AB=AP=AD，

∵PF=DF，

∴AE⊥CD（三线合一）；

（3）【解析】
如图3，作BT∥CD，分别交AD、AE于点T、H，则∠ATB=∠D，

∵，

∴AB=CD，，

∴∠BAD=∠D，

∵∠ABC+∠D=180°，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴AD∥BC，

∴TD=BC，BT=CD，

∵CFBC=DF，

∴TD=BC= CFDF=CD2DF，

∵，

∴TD=CD，

∴AT=ADTD=CDTD=CD（CD）=3；

∵AE⊥CD，BT∥CD，

∴∠D+∠DAE=90°，AE⊥BT，

∴∠AGB+∠DAE=90°，

∴∠AGB=∠D，

∴∠AGB=∠ATB，

∴△AHT∽△BHG，

∴，即，

设，，则，

∴AD=BT=，

∴TH=BTBH=，

∵BT∥CD，

∴，即，

∴，

∴，，

∴，

∴.