Question

在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，顶点在轴的正半轴上，且．

（1）如图①，求抛物线的解析式；

（2）如图②，连接，过点作的平行线，交第四象限的抛物线于点，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点在第四象限的抛物线上，过点作于点，直线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，点在的延长线上，连接、，且，若，求点的坐标．

Answer

（1）；（2）点D的坐标为（4，）；（3）点K的坐标为：（3，1）或（3，2）.

【解析】

（1）根据题意，设点C坐标为（0，4a），由，求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）先求出直线BC的解析式，由AD∥BC，得到k相等，再把点A代入，得到直线AD的方程，然后与二次函数组成方程组，即可得到点D的坐标；

（3）根据题意，过点F作FL⊥x轴于L，根据平面直角坐标系中的解直角三角形，结合条件，得到边之间的关系，设点E为（m，），则HE=，OH=m，利用边之间的关系建立关于m的一元二次方程，即可求出m的值，即得到点K的横坐标，由，需进行分类讨论，即可得到答案.

【解析】
（1）如图①，

在中，设顶点C坐标为（0，4a），则OC=4a，

∵，

∴OA=OB=2OC=8a，

∴点A坐标为（-8a，0），点B坐标为（8a，0），

把点B代入抛物线，得：，

解得：或或，

∵，则，

∴，

∴抛物线的解析式为：；

（2）如图②，连接，过点作的平行线，交第四象限的抛物线于点，

由（1）知，抛物线为，

∴点C坐标为（0，1），点B为（2，0），点A为（，0），

设直线BC的解析式为，

∴，解得：，

∴直线BC的解析式为：；

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为，

把点A代入，得：，

∴，

∴直线AD的解析式为：；

∴，解得：或，

∴点D的坐标为：（4，）；

（3）如图，过点F作FL⊥x轴于L，

由（2）可知，直线AD为，

∴点I的坐标为：（0，），

∴OI=1，OA=2，

∴.

∵FL⊥x轴，EH⊥x轴，EF⊥AD，

∴∠OAI+∠AGF=∠GEH+∠AGF=∠GFH+∠AGF=90°，

∴∠OAI =∠GEH=∠GFH，

∴，

即，

∴，，

∵，

∴，

即，

∴；

∴，

设点E坐标为（m，），

∴，

∴，

∵，

∴ ，

整理得：，

解得：或（舍去）；

∴点E的坐标为：（3，）；

∴点H为（3，0），点K的横坐标为3，

∴BH=1=OC，

①当CK平行x轴时，∠HBK=∠BKC=45°，

此时△BHK是等腰直角三角形，

∴HK=BK=1，

∴点K的坐标为（3，1）；

②当△BKC时等腰直角三角形时，∠BKC=45°，则BC=BK，

∴△OBC≌△HKC（HL），

∴HK=OB=2，

∴点K的坐标为（3，2）；

综合上述，点K的坐标为：（3，1）或（3，2）.