Question

如图，已知正方形中，为对角线，点在边上，点在边上，，、与分别交于点、，，，则__．

Answer

【解析】

延长EA至H，使AH=CF，连结DH，证明△DCF≌△DAH，得∠CDF=∠ADH，证明△HDE≌△FDE，则∠EDF=45°，将△ADM绕点D逆时针旋转90°，使DA边与DC边重合，得到△DCQ，根据SAS判定△DMN≌△DQN，可得MN=NQ，∠NCQ=90°，则NQ可求出．

【解析】
延长EA至H，使AH=CF，连结DH，

在Rt△DCF和Rt△DAH中，
∵AH=CF，AD=CD，∠HAD=∠FCD=90°，
∴Rt△DCF≌Rt△DAH（SAS），
∴∠CDF=∠ADH，DH=DF，
∵AE+FC=EF，
∴EF=EH，
∵DE=DE，
∴△HDE≌△FDE（SSS），
∴∠HDE=∠FDE，
∴∠EDF=∠ADC=45°，
将△ADM绕点D逆时针旋转90°，使DA边与DC边重合，得到△DCQ，连结NQ，
由旋转可得，△ADM≌△DCQ，
∴AM=CQ，∠ADM=∠CDQ，
∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠FDC=45°，
∴∠CDQ+∠FDC=45°，即∠NDQ=45°，
在△DMN和△DQN中，

∴△DMN≌△DQN（SAS），
∴MN=NQ，
又∠NCQ=∠NCD+∠DCQ=45°+45°=90°，
在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=AM2+NC2
∵AM=4，NC=2，

∴

故答案为：