Question

已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点．

求一次函数与二次函数的解析式；

判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；

把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于，两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过，，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer

（1），；（2）以线段为直径的圆与直线的位置关系是相切，证明详见解析；（3）当为时，过，，三点的圆的面积最小，最小面积是．

【解析】

（1）设二次函数的解析式是y=ax2，把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；

（2）求出B、O的坐标，求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案.

解:（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0），

把A（-4，4）代入得：4=16a，

a=，

∴y=x2，

把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，

∴k=-，

∴y=-x+1，

∴一次函数与二次函数的解析式分别为，．

答：以线段为直径的圆与直线的位置关系是相切．

证明：得：，，

∴，

的中点的坐标是，

，

到直线的距离是，

∴以线段为直径的圆与直线的位置关系是相切．

【解析】
作的垂直平分线，外接圆的圆心在直线上，

由于平移后的抛物线对称轴为，对称轴交轴于，

，

平移后二次函数的解析式是，即，

当时，，

设，，在的右边，

则，，

∴，

，

设圆心坐标，根据，

∴，

，

，

当时，半径有最小值，圆面积最小为，

答：当为时，过，，三点的圆的面积最小，最小面积是．