Question

如图，若是正数，直线：与轴交于点；直线：与轴交于点；抛物线：的顶点为，且与轴右交点为.

（1）若，求的值，并求此时的对称轴与的交点坐标；

（2）当点在下方时，求点与距离的最大值；

（3）设，点，，分别在，和上，且是，的平均数，求点与点间的距离；

（4）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数.

Answer

（1），；（2）1；（3）；（4）当时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个.

【解析】

（1）先求出A、B 的坐标，再由AB=8，可求出b的值，从而得到L的解析式，进而可求L的对称轴与a的交点；

（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离，配方即可得出结论；

（3）由題意得y1+y2=2y3，进而可得b和x0的方程，解得x0的值，再求出L与x轴右交点D的坐标，即可得出结论；

（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线a的解析式是：y=x﹣2019，由美点的定义可得美点的个数；②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线a的解析式是：y=x﹣2019.5，再由美点的定义即可得出美点的个数．

【解析】
（1）当时，，∴.

∵，，

∴，∴，

∴：，

∴的对称轴为直线，当时，，

∴的对称轴与的交点为；

（2）∵，∴的顶点.

∵点在下方，∴与的距离是：，

∴点与距离的最大值为1；

（3）∵是，的平均数，∴，

∴，解得：或.

∵，∴，

对于，当时，，即，解得：，.

∵，∴右交点，

∴点与点间的距离为；

（4）①当时，抛物线解析式：，直线的解析式是：.

联立上述两个解析式可得：，，

∴可知每一个整数的值都对应着一个整数值，且－1和2019之间（包括－1和2019）共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和拋物线，

∴线段和拋物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点.

∵这两段图象交点有2个点重复，

∴“美点”的个数：（个）；

②当时，抛物线解析式：，直线的解析式是：，

联立上述两个解析式可得：，，

∵当取整数时，在一次函数上，取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数图象上，当为偶数时，函数值可取整数，可知－1到2019.5之间有1010个偶数，

因此“美点”共有1010个.

故时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个.