Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S_△AEF＝mn．其中正确的结论有（　　）

A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④

Answer

D

【解析】

根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，再根据等角对等边即得BE＝EG，GF＝CF，进而可对①进行判断；

根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；

过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，根据角平分线的性质即可对③进行判断；

连接AG，如图2，则△AEF的面积=△AEG的面积+△AFG的面积，再根据题意和③的结论即可对④进行判断.

【解析】
①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，

∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，

∴BE＝EG，GF＝CF，

∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；

②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，

∴∠GBC+∠GCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），

∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故本小题正确；

③过点G作GM⊥AB于点M，作GH⊥BC于点H，如图1，

∵GB和GC是∠ABC和∠ACB的平分线，

∴GM=GH，GD=GH，

∴GM=GH=GD，

即点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；

④连接AG，如图2，∵GD＝m，AE+AF＝n，则由③知：GM=GD=m，

∴S△AEF＝AE•GM+AF•GD＝（AE+AF）•m＝nm，故本小题正确．

故选：D．