Question

已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）

①在射线BM上作一点C，使AC=AB；

②作∠ABM 的角平分线交AC于D点；

③在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE.

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明之．

Answer

（1）画图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）①以点A为圆心，AB的长为半径画圆弧交射线BM与点C，连接AC；②以点B位圆心画一段圆弧分别交AB、BC于两点，然后分别以这两个点位圆心，画两段半径相等的圆弧并交于一点，连接此点与B点并延长交AC于点D；③以点C位圆心，CD的长为半径画圆弧交射线CM于点E，连接DE；（2）猜想BD=DE，要证明DE=BD，即要证明∠1=∠3，有题目已知条件不难得出∠1=∠4，∠3=∠4，即可证明.

试题解析：

（1）如图所示：

（2）BD= DE.

证明：∵BD平分∠ABC ，

∴∠1=∠ABC ，

∵ AB = AC ，

∴∠ABC=∠4，

∴∠1=∠4，

∵CE=CD ，

∴∠2=∠3，

∵∠4=∠2＋∠3，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠3，

∴BD= DE .