Question

两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形，B. C. E在同一条直线上，连结DC.

(1)请在图2中找出与△ABE全等的三角形,并给予证明；

(2)证明：DC⊥BE.

Answer

（1）△ACD≌△ABE，理由见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质易得AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°，然后推出∠BAE=∠CAD，利用SAS判定△ABE≌△ACD；

（2）由全等三角形得∠ACD=∠ABE=45°，易得∠BCD=90°，所以DC⊥BE.

(1)图2中△ACD≌△ABE.

证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，

∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，

即∠BAE=∠CAD.

在△ABE与△ACD中，

∴△ABE≌△ACD(SAS)；

(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD,可得∠ACD=∠ABE=45°，

又∵∠ACB=45°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，

∴DC⊥BE.