Question

对于平面直角坐标系中的点和,给出如下定义:连接交于点,若点关于点的对称点在的内部，则称点是的外称点.

(1)当的半径为时，

①在点中，的外称点是        ；

②若点为的外称点，且线段交于点，求的取值范围;

(2)直线过点， 与轴交于点. 的圆心为, 半径为若线段上的所有点都是的外称点，请直接写出的取值范围.

Answer

(1)① ；② ；(2)或．

【解析】

(1) ①由外称点的定义可知：到圆心的距离小于3且大于1，点才是的外称点，据此可求得答案；②由点知，点G在一、三象限角平分线上，则点也在一、三象限角平分线上，根据外称点的定义，,且,由两点之间的距离公式可求得的取值范围;

(2)根据外称点的定义，分点在点B左侧时和右侧两种情况，线段上的点离最远的点要小于3，离最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.

(1) ①由外称点的定义可知：到圆心的距离小于3且大于1，点才是的外称点，

点D(-1，-1)，, 点D是的外称点，

点E(2，0)，, 点E是的外称点，

点F(0，4)，, 点F不是的外称点，

故答案是：

②由点知，点G在一、三象限角平分线上，则点也在一、三象限角平分线上，

∴，

由外称点的定义可知：,即,解得：

又，则

∴的取值范围是：.

(2) ∵直线过点，代入求得：,

∴直线的解析式是：，则与轴交于点的坐标是(2，0)，与y轴交于点C的坐标是(0，2)，∴为等腰直角三角形，

当点在点B左侧时，如图1，离最远的点为点B，依题意：，∴，

当与线段相切时，切点离为最近，如图2：作于D，

∴为等腰直角三角形，

∴，则，∴依题意：

故当点在点B左侧时，；

当点在点B右侧时，如图3，离最近的点为点B，依题意：，∴，

离最远的点为点A，如图4，依题意：，

由两点之间距离公式：，

解得：(因为T在Ｂ右侧，舍去)

故当点在点B右侧时，

综上所述，答案是：或