Question

如图1，已知是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且，将绕点C顺时针旋转至，连接EF.

（1）证明：；

（2）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，请你写出线段AB、DB、AF之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB、DB、AF之间的数量关系，不必证明.

Answer

（1）见解析；（2）AB＝BD﹣AF，证明见解析；（3）补充图形见解析，AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．

【解析】

（1）过点E作EG∥BC交AC于点G，可得△AEG为等边三角形，进而可得BE=CG，易证∠BED＝∠GCE，再根据SAS可证△BDE≌△GEC，可得BD＝EG＝AE，进一步即得结论；

（2）结论：AB＝BD﹣AF；如图2，延长EF、CA交于点G，先由旋转的性质证得△CEF是等边三角形，进而可推得ED＝EF，然后利用三角形的外角性质可推得∠FCG＝∠FEA，进而可得∠D＝∠FEA，易证∠DBE＝∠FAE＝60°，于是根据AAS可证△EDB≌△FEA，可得BD＝AE，进一步根据等线段代换即可证得结论；

（3）AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．如图3中，先根据旋转的性质判断△CEF是等边三角形，可得EF＝EC，进而可得ED＝EF，然后根据三角形的外角性质和角度之间的关系可得∠BDE＝∠AEF，易证∠B＝∠EAF＝60°，于是根据AAS可证△EDB≌△FEA，可得BD＝AE，EB＝AF，进一步即可证得结论.

【解析】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴BE＝AF，

如图1，过点E作EG∥BC交AC于点G，则△AEG为等边三角形，∴AE=AG=EG，∴BE=CG，

∵DE＝CE，∴∠CDE＝∠ECD，

又∵∠CDE+∠BED＝∠ABC＝∠ACD＝∠ECD+∠GCE，

∴∠BED＝∠GCE，

在△BDE和△GEC中，

，

∴△BDE≌△GEC（SAS），

∴BD＝EG＝AE，

又∵AF＝BE，

∴AB＝BE+AE＝AF+BD；

（2）结论：AB＝BD﹣AF；

理由：如图2，延长EF、CA交于点G，

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，

∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，

∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，

又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，

∵∠EFC＝∠G+∠FCG，∠BAC＝∠G+∠FEA，

∴∠FCG＝∠FEA，

∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，

∴∠D＝∠FEA，

由旋转的性质得：∠CBE＝∠CAF＝120°，又∵∠BAC=60°，

∴∠DBE＝∠FAE＝60°，

在△EDB和△FEA中，，

∴△EDB≌△FEA（AAS），

∴BD＝AE，EB＝AF，

∵AE=AB+BE，

∴BD＝FA+AB，

即AB＝BD﹣AF；

（3）如图3中，AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．

∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，

∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，

又∵ED＝EC，∴ED＝EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠BAC＝60°，

又∵∠B＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，

∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠B＝∠EAF；

∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，

∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，

又∵∠EDC＝∠B+∠BED，

∴∠BDE＝∠B+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，

∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，

∴∠BDE＝∠AEF，

在△EDB和△FEA中， ，

∴△EDB≌△FEA（AAS），

∴BD＝AE，EB＝AF，

∵BE＝AB+AE，

∴AF＝AB+BD，

即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD．