Question

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为.

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接，已知点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，是否存在这样的点，使直线把分成面积为的两部分；若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

Answer

（1）；（2）20；（3）存在；点的坐标为或

【解析】

（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；

（2）设点的坐标为，则的坐标为,的坐标为,从而求得;，所以矩形MNHG的周长，即可求解；

（3）当矩形周长取得最大值时，，从而求出的值，然后求出直线的解析式，设点坐标为，分当的面积是面积的时；当的面积是面积的时两种情况分别列出方程，求出点P的坐标．

【解析】
（1）设二次函数的解析式为

二次函数图像的顶点坐标为

又图象经过点

解得：

二次函数的解析式为

（2）四边形为矩形，

关于直线对称

设点的坐标为，则的坐标为

的坐标为

;

矩形的周长

当时，

矩形周长的最大值为20.

（3）存在，理由如下：

当矩形周长取得最大值时，

，对称轴为直线

设直线的解析式为

将代入上式得：

，解得

设点坐标为

①当的面积是面积的时，

解得：；（舍去）

②当的面积是面积的时，

解得：；（舍去）

综上所述，点的坐标为或