Question

如图，AB为的直径，C、D为上两点，且，垂足为F，直线CF交AB的延长线于点E，连接AC

 

（1）判断EF与的位置关系，并说明理由：

（2）若，的半径为4，求线段CF的长.

Answer

（1）EF与⊙O相切，理由见解析；（2）CF=2

【解析】

（1）连接OC，由题意可得∠OCA=∠FAC=∠OAC，可得OC∥AF，可得OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；

（2）由直角三角形的性质可求AC=EC=4，即可求CF的长．

（1）EF与⊙O相切，理由如下：

如图，连接OC，

∵，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠FAC，

∴OC∥AF，

又∵EF⊥AF，

∴OC⊥EF

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵∠FEA=30°，EF⊥AF，

∴∠FAE=60°，且∠FAC=∠BAC，

∴∠FAC=∠BAC=30°，

∴∠FEA=∠BAC=30°，

∴CE=AC，

∵OC⊥EF，∠FEA=30°，

∴CE=OC=4，

∴AC=4，

∵∠FAC=30°，EF⊥AF，

∴AC=2CF，

∴CF=2