Question

锐角△ABC中，BC=6，，两动点M,N分别在边AB,AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y＞0)．

(1)求△ABC中边BC上高AD；

(2)当x为何值时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

(3)当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

Answer

（1）4；（2）2.4（或）；（3）3，6.

【解析】

（1）利用三角形的面积公式容易得出△ABC中边BC上高AD的长度．

（2）因为正方形的位置在变化，但是△AMN∽△ABC没有改变，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，得出等量关系，代入解析式可得出；

（3）用含x的式子表示矩形MEFN边长，从而求出面积的表达式，配方成顶点式可得解.

【解析】
（1）由BC=6，S△ABC=12，得AD=4；
（2）当PQ恰好落在边BC上时，
∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

即；

（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．
设ME=NF=h，AD交MN于G（如图2）GD=NF=h，AG=4-h．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

即，

，

，

配方得：

∴当x=3时，y有最大值，最大值是6．