Question

已知：如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，且，垂足为点，过点作交的延长线于点，联结.

（1）求证：；

（2）连接，试判断的形状，并说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析.

【解析】

（1）由和证明△DBF=等腰直角三角形，再证明，得，从而证明；

（2）证明，可得，再由（1）知，从而证明，即可说明△ACF的性质.

（1）证明：，，

，

∵，

∴∠FEB=90°，

∴∠BFE=45°，

∴△DBF=等腰直角三角形，

∴DB=BF，

∵为的中点，

∴DC=BD，

∴DC=FB，

在△ACD和△CBF中

，

，

，

；

（2）连接，

由（1）知△DBF等腰直角三角形，

，

∴DE=FE，

在△ADE和△AFE中

，

，

由（1）知，

，

，

是等腰三角形.