综合与实践: 问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转...

综合与实践:

问题情境:在一次综合实践活动课上,同学们以菱形为对象,研究菱形旋转中的问题:已知,在菱形中, 为对角线, ,,将菱形绕顶点顺时针旋转,旋转角为(单位),旋转后的菱形为,在旋转探究活动中提出下列问题,请你帮他们解决.

观察证明:

(1)如图1,若旋转角,与相交于点,与相交于点,请说明线段与的数量关系;

操作计算:

(2)如图2,连接,菱形旋转的过程中,当与互相垂直时, 的长为 ;

(3)如图3,若旋转角,分别连接,,过点分别作,,连接,菱形旋转的过程中,发现在中存在长度不变的线段,请求出长度;

操作探究:

(4)如图4,在(3)的条件下,请判断以,,三条线段长度为边的三角形是什么特殊三角形,并说明理由.

（1），理由详见解析；（2）；（3）2；（4）以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由详见解析. 【解析】 (1)根据菱形的性质以及旋转的性质，证得，根(证得≌，可以得到结论； (2)根据菱形的性质以及条件与互相垂直，证明、在同一直线上，利用锐角三角函数求得对角线的长，继而求得结论； (3)利用等腰三角形三线合一的性质，是的中位线，从而证明； (4) 以为边向外作等边三角形，利用等边三角形的性质以及证得≌，得到，把,,三条线段归结到一个三角形中，易证得是直角三角形，从而得到结论. (1) ,理由如下: ∵四边形是菱形 ∴ ∴ 由旋转的性质可得: ,,, ∴ ∴ 即在和中 ∴≌() ∴ (2) 菱形中, , , ∴平分 (等腰三角形三线合一), ∴, ∵, ∴ ∴、在同一直线上，如图，菱形中, 为对角线, ,, ∴, ∴ ∴ ∴ 故答案是： (3)如图,连接,由题可得: ∵ ∴(等腰三角形三线合一),同理 ∴是的中位线 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 又∵ ,是等边三角形 ∴ ∴ (4)以,,三条线段为边的三角形是直角三角形,理由如下: 如图,以为边向外作等边三角形,连接, ∵四边形是菱形, ∴与是等边三角形, 由(3)可知: 与都是等腰三角形 ∴ ∵与是等边三角形 ∴,, ∴ ∴ 在和中 ∴≌() ∴, ∴ ∴是直角三角形即以,,三条线段长度为边的三角形是直角三角形.

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考点分析：

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在中, ,,,点是斜边的中点,以点为顶点作,射线、分别交边、于点、.