Question

如图，已知 B 1, 0 ， C 1, 0 ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB  AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且BDC  BAC .

（1）求证： ABD  ACD ；

（2）求证： AD 平分CDE ；

（3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC  DA  DB ，在此过程中，BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出BAC 的度数？

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．

【解析】

（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知BAC 的度数.

（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，
∴∠ABD=∠ACD；

（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．

则∠AMC=∠ANB=90°．
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AB=AC，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM=AN．
∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP=BD，连接AP．

∵CD=AD+BD，
∴AD=PD．
∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．
∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=60°．
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．