Question

已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。

Answer

见解析

【解析】

由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因为AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，又DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF；

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD，

又∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠1=∠2，DE=DF，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），

∵DE=DF，

∴点D在EF的垂直平分线上，

∴AD垂直平分EF.