Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．P为AB延长线上一点，∠PCD=2∠BAC．

（1）求证：CP为⊙O的切线；

（2）若BP=1，CP=,求 ⊙O的半径；

Answer

（1）见解析；（2）⊙O的半径为2.

【解析】

（1）如图，连接OC，先证∠DOC=2∠BAC，结合∠PCD=2∠BAC，可得∠PCD=∠DOC；由CD⊥AB于点D可得∠DOC+∠DCO=90°，由此可得∠PCD+∠DCO=∠PCO=90°，从而可得PC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为则，OC=OB=，OP=OB+BP=，在Rt△OCP中，由勾股定理可得OC2+PC2=OP2，即，解此方程即可求得⊙O的半径.

（1）如图，连接OC，

∵OC=OA，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠POC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC，

又∵∠PCD=2∠BAC，

∴∠POC=∠PCD，

∵CD⊥AB于点D，

∴∠ODC=90◦.

∴∠POC+∠OCD=90◦.

∴∠PCD+∠OCD=90◦.

∴∠OCP=90◦.

∴半径OC⊥CP.

∴CP为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，则OC=OB=，OP=OB+BP=，

∵在Rt△OCP中，OC2+CP2=OP2，CP=，

∴

解得：.

∴⊙O的半径为2.