Question

（2017湖北省十堰市，第24题，10分）已知O为直线MN上一点，OP⊥MN，在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，AC∥OP交OM于C，D为OB的中点，DE⊥DC交MN于E．

（1）如图1，若点B在OP上，则：

①AC      OE（填“＜”，“=”或“＞”）；

②线段CA、CO、CD满足的等量关系式是      ；

（2）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（0°＜α＜45°），如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由；

（3）将图1中的等腰Rt△ABO绕O点顺时针旋转α（45°＜α＜90°），请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA、CO、CD满足的等量关系式      ．

Answer

（1）①=；②AC2+CO2=CD2；（2）不成立；（3）OC﹣CA=CD．

【解析】

试题（1）①如图1，证明AC=OC和OC=OE可得结论；

②根据勾股定理可得：AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立，作辅助线，构建全等三角形，证明A、D、O、C四点共圆，得∠ACD=∠AOB，同理得：∠EFO=∠EDO，再证明△ACO≌△EOF，得OE=AC，AO=EF，根据勾股定理得：AC2+OC2=FO2+OE2=EF2，由直角三角形中最长边为斜边可得结论；

（3）如图3，连接AD，则AD=OD证明△ACD≌△OED，根据△CDE是等腰直角三角形，得CE2=2CD2，等量代换可得结论（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，开方后是：OC﹣AC=CD．

试题解析：【解析】
（1）①AC=OE．理由如下：

如图1，∵在等腰Rt△ABO中，∠BAO=90°，∴∠ABO=∠AOB=45°．∵OP⊥MN，∴∠COP=90°，∴∠AOC=45°．∵AC∥OP，∴∠CAO=∠AOB=45°，∠ACO=∠POE=90°，∴AC=OC．连接AD，∵BD=OD，∴AD=OD，AD⊥OB，∴AD∥OC，∴四边形ADOC是正方形，∴∠DCO=45°，∴AC=OD，∴∠DEO=45°，∴CD=DE，∴OC=OE，∴AC=OE；

②在Rt△CDO中，∵CD2=OC2+OD2，∴CD2=AC2+OC2；

故答案为AC2+CO2=CD2；

（2）如图2，（1）中的结论②不成立．理由是：

连接AD，延长CD交OP于F，连接EF．∵AB=AO，D为OB的中点，∴AD⊥OB，∴∠ADO=90°．∵∠CDE=90°，∴∠ADO=∠CDE，∴∠ADO﹣∠CDO=∠CDE﹣∠CDO，即∠ADC=∠EDO．∵∠ADO=∠ACO=90°，∴∠ADO+∠ACO=180°，∴A、D、O、C四点共圆，∴∠ACD=∠AOB．同理得：∠EFO=∠EDO，∴∠EFO=∠AOC．∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠DCO=45°，∴△COF和△CDE是等腰直角三角形，∴OC=OF．∵∠ACO=∠EOF=90°，∴△ACO≌△EOF，∴OE=AC，AO=EF，∴AC2+OC2=FO2+OE2=EF2．Rt△DEF中，EF＞DE=DC，∴AC2+OC2＞DC2，所以（1）中的结论②不成立；

（3）如图3，结论：OC﹣CA=CD．理由是：

连接AD，则AD=OD，同理：∠ADC=∠EDO．∵∠CAB+∠CAO=∠CAO+∠AOC=90°，∴∠CAB=∠AOC．∵∠DAB=∠AOD=45°，∴∠DAB﹣∠CAB=∠AOD﹣∠AOC，即∠DAC=∠DOE，∴△ACD≌△OED，∴AC=OE，CD=DE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE2=2CD2，∴（OC﹣OE）2=（OC﹣AC）2=2CD2，∴OC﹣AC=CD．故答案为OC﹣AC=CD．