Question

两条抛物线与的两个交点、都在轴上，抛物线的顶点为.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在轴正半轴上有一点，当时，求的面积；

(3)判断在轴上是否存在点，使点绕点顺时针旋转，得到点恰好落在抛物线上?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ；(2) ；（3）存在；点P坐标为：或.

【解析】

（1）利用抛物线，求出点A、B的坐标，然后用待定系数法求出的解析式即可；

（2）根据题意，可分两种情况进行讨论，①在抛物线的对称轴上取一点，以为圆心，为半径作圆，与y轴正半轴有交点，根据勾股定理求出点坐标，然后求出面积；②在轴下方抛物线的对称轴上，取一点，以点为圆心，以为半径作圆，与y的正半轴有交点，通过计算，不符合题意，最后即可得到的面积；

（3）过点作轴于点，过点作轴于点，分两种情况进行讨论：①当点在点上方时，设，先证明，然后利用方程的思想求出

的值，然后得到点P的坐标；②当点在点下方时，设，与①同理可证，然后利用方程的思想求出z的值，得到点P的坐标.

【解析】
（1）∵点，都在轴上，

∴，

解得：，，

∴，，

把点，代入得，

解得：，

∴.

（2）如图，抛物线的对称轴与轴交点为

，

∴.

①如图，在轴上方抛物线的对称轴上，取一点，使

，，

，

以点为圆心，以为半径作圆，

与轴正半轴相交于点，即：，

.

设点()，过点作轴于点，

，

，（舍去），

.

②如图，在轴下方抛物线的对称轴上，取一点，使

，，

，

以点为圆心，以为半径作圆，

与轴正半轴相交于点，即：，舍去.

的面积为：.

（3），顶点，

如图，过点作轴于点，过点作轴于点，

①当点在点上方时，设，依题意得：

，，

，

，

恰好落在抛物线上，

∴(舍去）

.

②当点在点下方时，设，

同理可证：，

，

，

恰好落在抛物线上，

，(舍去）

.

综上所述，，.