Question

如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）判断的形状，证明你的结论；

（3）点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长.

Answer

（1），D；（2）是直角三角形，见解析；（3），.

【解析】

（1）直接将（−1，0），代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出函数顶点坐标；

（2）分别求出AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，进而利用勾股定理的逆定理得出即可；

（3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线的解析式，可得M点坐标，然后易求此时△ACM的周长．

【解析】
（1）∵点在抛物线上，

∴，

解得：.

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴顶点的坐标为：；

（2）是直角三角形，

证明：当时，

∴，即，

当时，，

解得：，，

∴，

∴，，，

∵，，，

∴，

∴是直角三角形；

（3）如图所示：BC与对称轴交于点M，连接，

根据轴对称性及两点之间线段最短可知，此时的值最小，即周长最小，

设直线解析式为：，则，

解得：，

故直线的解析式为：，

∵抛物线对称轴为

∴当时，，

∴，

最小周长是：.