Question

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．

（1）例如：数轴上表示4和1的两点之间的距离为|4﹣1|=　   　

数轴表示5和﹣2的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|=|5+2|=　   　

（2）数轴上表示数a的点与表示﹣4的点之间的距离表示为　    　

数轴上表示数a的点与表示2的点之间的距离表示为　         　

若数轴上a位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　        　；

（3）当a=　   　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为　    　．

Answer

（1）3；7；（2）|a+4|；|a﹣2|；6；（3）1；9.

【解析】

（1）根据绝对值的性质计算即可；

（2）根据距离公式即可表示，然后根据绝对值的性质化简即可；

（3）先画出数轴，然后利用数轴分类讨论，然后求最小值即可.

【解析】
（1）|4﹣1|=3，|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，

故答案为：3；7.

（2）根据数轴上两点的距离公式：数轴上表示数a的点与表示﹣4的点之间的距离为：|a﹣（﹣4）|=|a+4|；

数轴上表示数a的点与表示2的点之间的距离为|a﹣2|；

当a位于﹣4与2之间时，a+4＞0，a﹣2＜0

∴|a+4|+|a﹣2|= a+4+2﹣a=6

故答案为：|a+4|；|a﹣2|；6.

（3）根据数轴上两点的距离公式可知：|a+5|表示数a的点与表示﹣5的点之间的距离，|a﹣1|表示数a的点与表示1的点之间的距离，|a﹣4|表示数a的点与表示4的点之间的距离

①若a≤﹣5时，由下图可知：|a﹣4|≥|﹣5﹣4|=9

∴|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|＞9；

②若﹣5＜a≤4时，由下图可知：|a+5|+|a﹣4|=|﹣5﹣4|=9

∴|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|≥9（当且仅当|a﹣1|=0，即a=1时，取等号）；

③若4＜a时，由下图可知：|a+5|≥|﹣5﹣4|=9，

∴|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|＞9.

综上所述：|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|≥9，故|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小是9，此时a=1.

故答案为：1；9.