Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.

（1）求证：△ACE≌△ACF；

（2）若AB=21，AD=9，AC=17，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）8

【解析】

（1）由角平分线的定义及所给条件利用AAS可证明△ACE≌△ACF；
（2）结合（1）中的全等可证明Rt△CDF≌Rt△CEB，可得DF=BE，再由AE-AF，可证得DF=BE，利用线段和差可求得BE、AE，在Rt△BCE中可求得CE，则可求得CF．

（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F,

∴∠BAC=∠CAD, ∠AFC=∠AEC=90°

在△ACE和△ACF 中，

∵∠BAC=∠CAD, ∠AFC=∠AEC，AC=AC,

∴△ACE≌△ACF （AAS）．

（2）由（1）知：∠AFC=∠AEC=90°，△ACE≌△ACF，

∴∠AFC=∠BEC=90°,CE=CF，AF=AE,

又∵CD=CB,

∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），

∴DF=EB，

∴AD+DF=AF=AE=AB-EB，

∵AB=21，AD=9，

∴9+DF=21-EB，

∴EB=DF=6， AE=15,

在Rt△ACE中，

∴CF=CE=8．