Question

已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．

（1）如图1，求证：AE=BD；

（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ACB≌△DCE， △EMC≌△BCN， △AON≌△DOM， △AOB≌△DOE．

【解析】

（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；

（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形.

（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△ACE与△BCD中，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD；

（2）∵AC=DC，

∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；

由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，

∴∠DOM=90°，

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BCN（ASA），

∴CM=CN，

∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），

∵DE=AB，AO=DO，

∴△AOB≌△DOE（HL）．