Question

（操作观察）任意一张三角形纸片有3个顶点。

第1次在它的内部增画1个点，此时三角形纸片内部共有1个点；

第2次在它的内部继续增画2个点，此时三角形纸片内部共有1+2=3个点；

第3次在它的内部继续增画3个点，此时三角形纸片内部共有1+2+3=6个点；

……

第次在它的内部继续增画个点，此时三角形纸片内部共有个点。

（动手实践）

第次画点后，在三角形纸片内部共有个点，以个点为顶点，把三角形纸片剪成若干个小三角形纸片，设最多可以剪得个这样的小三角形。

（思考解答）

（1）第次画点后，__________________；（用含有的代数式表示）；

（2）第1次画点后，如图1，以4个点为顶点，将原三角形纸片剪成若干个小三角形，最多可以剪得3个这样的小三角形，所以；第2次画点后，如图2，以6个点为顶点，最多可以剪得7个这样的小三角形，所以；第3次画点后，以9个点为顶点，可得____________________；

（3）第次画点后，可得______________；（用含有的代数式表示）；

（4）第次画点后，可得个小三角形，第次画点后，可得个小三角形，则________________________。（用含有的代数式表示）。

Answer

（1）；（2）13；（3）；（4）

【解析】

（1）根据题意,用代数式表示即可；

（2）第2次画点后，在原基础上增加了2个点，就增加了个小三角形，，第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，

（3）根据，，，可以推出；

（4）由（3）可推得，两式相减，去括号化简即可求得.

（1）根据题意得：, 也可以写成,

∴(共有n个这样的数)

∴

故答案为：

（2）第3次画点后，在原基础上增加了3个点，就增加了个小三角形，，

故答案为：13；

（3）第4次画点后，在原基础上增加了4个点，就增加了个小三角形，，

根据，，，，

∵，，，

∴

故答案为：

（4）

故答案为：