Question

综合与实践：

问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点G.

特例探究　实验小组的同学发现：

（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；

（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；

延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．

Answer

（1）见解析；（2）1；（3）AG＝BC＋CG

【解析】

（1）如图1中，连接EG．只要证明△EGF≌△EGC即可解决问题；

（2）只要证明△ABE∽△ECG，即可推出，由此即可解决问题；

（3）如图2中，连接EG．由△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，推出AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，由AB∶BC=BC=∶2，推出AB=BC，可得AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．

【解析】
(1)证明：连接EG.

∵△AEF是由△AEB翻折得到，点E为BC边的中点，

∴EB＝EF＝EC，AB＝AF，∠AFE＝∠B＝∠C＝90°.

在Rt△EGF和Rt△EGC中，，

∴Rt△EGF≌Rt△EGC(HL)．

∴FG＝GC.

∵AB＝AF＝BC，

∴AG＝AF＋FG＝BC＋CG.

(2)∵△EGF≌△EGC，

∴∠GEF＝∠GEC.

∵∠AEB＝∠AEF，∠BEC＝180°，

∴∠AEG＝90°.

∴∠AEB＋∠GEC＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°.

∴∠GEC＝∠BAE.

∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECG.

∴

∵EC＝2，

∴CG＝1；

（3）如图2中，连接EG．

∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，

∴AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，

∵AB：BC=BC=∶2，

∴AB=BC，

∴AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．

即AG=BC+CG．