Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC²＝BG·BF.

Answer

证明见解析.

【解析】

试题要证明BC2＝BG·BF即要证明△BCG∽△BFC，已知∠GBC=∠CBF，即要证明∠BCG=∠F，由于∠F=∠A，即要证明∠A=∠BCG，由已知条件不难证明.

试题解析：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，

∵CD⊥AB于点D，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD＝∠A.

又∵∠A＝∠F，

∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.

在△BCG和△BFC中，

∵，

∴△BCG∽△BFC.

∴＝，

即BC2＝BG·BF.