Question

(1)问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP.

(2)探究

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.

(3)应用

请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值.

Answer

(1)证明见解析；(2)结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由见解析；(3)t的值为2秒或10秒．

【解析】

（1）根据同角的余角相等，即可证出∠APD=∠BPC，然后根据相似三角形的判定即可证出：△ADP∽△BPC，再根据相似三角形的性质，列出比例式，最后根据比例的基本性质即可证出结论；

（2）根据三角形外角的性质和已知条件证出：∠BPC=∠APD，然后根据相似三角形的判定即可证出：△ADP∽△BPC，再根据相似三角形的性质，列出比例式，最后根据比例的基本性质即可证出结论；

（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据三线合一和勾股定理求出DE，然后画圆根据切线的性质可得：DC=DE=8，再根据(1)(2)的经验得AD•BC=AP•BP，列出方程，求出t的值即可.

(1)证明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴

∴AD•BC=AP•BP；

(2)结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：

证明：∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴，

∴AD•BC=AP•BP；

(3)【解析】
如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

根据勾股定理可得：DE==8，

∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10-8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，由(1)(2)的经验得AD•BC=AP•BP，

又∵AP=t，BP=12-t，

∴t(12-t)=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值为2秒或10秒．