Question

已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）﹣1；（3）所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．

【解析】

试题（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；

（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；

（3）分三种情况分别讨论即可求得．

【解答】（1）证明：如图1，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：如图1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EBC=∠DBC=22.5°，

由（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；

∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），

∴∠BGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），

∵BD==，

∴BF=，

∴CF=BF﹣BC=﹣1；

（3）【解析】
如图2，∵CF=﹣1，BH=CF

∴BH=﹣1，

①当BH=BP时，则BP=﹣1，

∵∠PBC=45°，

设P（x，x），

∴2x2=（﹣1）2，

解得x=2﹣或﹣2+，

∴P（2﹣，2﹣）或（﹣2+，﹣2+）；

②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，

∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（﹣1，﹣1）；

③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（，），

综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（2﹣，2﹣）、（﹣2+，﹣2+）、（﹣1，﹣1）、（，）．