Question

如图1，抛物线y＝ax²﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；

（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+4x﹣3．（2）点P（）；（3）存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．

【解析】

（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．

（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．

（3）此题应分三种情况讨论：

①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N的坐标；

②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．

（1）由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；

已知OB=OC=3，则C（0，-3）；

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：

a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；

故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．

（2）设AE交y轴于点F；

易证得△FOA∽△FEC，有，

设OF＝x，则EF＝3x，

所以FA＝3x﹣1；

在Rt△FOA中，由勾股定理得：

（3x﹣1）2＝x2+1，

解得x＝；

即OF＝，F（0，）；

求得直线AE为y＝﹣x+，

联立抛物线的解析式得：，

解得，；

故点P（，）．

（3）∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC：y＝x﹣3；

设点M（a，a﹣3），则：

①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；

过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；

根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，

则可证得△MOG≌△NOH，得：

OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，

故N（a﹣3，﹣a），

将其代入抛物线的解析式中，得：

﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，

整理得：a2﹣11a+24＝0，

a＝3（舍去），a＝8；

故M（8，5），N（5，﹣8）．

②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；

同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：

﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，

整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；

由于点M在第三象限，

所以a＜0，

故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；

③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；

同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；

故M（1，﹣2），N（2，1）；

综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．