Question

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y   x 4与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿着直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C处.

（1）求直线 CD 的表达式；

（2）在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 SPCD SOCD？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)．(2) 存在一点 P为P1(,),P2(12,-12).

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出AB的长度，由折叠的性质可得出AC=AB，结合OC=OA+AC可得出OC的长度，进而可得出点C的坐标，设OD=x，则CD=DB=x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，-6），然后利用待定系数法求解即可；

（2）假设存在，设点P的坐标为(m,  m 4),则F(m, m-6)，PF=利用三角形的面积公式可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解析】
（1）令x=0得：y=4，
∴B（0，4）．
∴OB=4
令y=0得：0=-x+4，解得：x=3，
∴A（3，0）．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，AB=．
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C（8，0）．设OD=x，则CD=DB=x+4．
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6，
∴D（0，-6）．
设CD的解析式为y=kx-6，将C（8，0）代入得：8k-6=0，解得：k=，
∴直线CD的解析式为y=x-6．

（2）过点P作PF∥y轴交CD于F, ∵P点在直线BA上，设P(m,  m 4),则F(m, m-6), ∴PF== , ∵,D(0,-6),C(8,0),∴ ×8=×8×6×=60,解得：m=-或m=12, ∴(-,),(12,-12),

综上所述，在直线 AB 上存在一点 P为(-,),(12,-12).