Question

问题探究

(1)如图①，在△ABC 中，∠B=30°，E 是 AB 边上的点，过点 E 作 EF⊥BC 于 F，则的值为        .

（2）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=BC=6,∠ABC=60°，对角线 BD 平分∠ABC，点E 是对角线 BD 上一点，求 AE+ BE的最小值.

问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线 y  -x  4 分别于 x 轴，y 轴交于点 A、B，点 P 为直线 AB 上的动点，以 OP 为边在其下方作等腰 Rt△OPQ 且∠POQ=90°.已知点C（0，-4），点 D（3,0）连接 CQ、DQ,那么DQ  CQ是否存在最小值，若存在求出其最小值及此时点 P 的坐标，若不存在请说明理由.

Answer

(1) ;(2) ;(3)4.

【解析】

(1)利用直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求解即可;

(2) 作EF⊥BC于F, 根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AE+BE=AE+EF ，再根据勾股定理得到AE+BE的最小值;

(3) 作PM⊥y轴于M,QN⊥y轴于N,易证△POM≌△OQN，根据当、Q、N共线时，Q+NQ最小求解即可.

解;(1) ∵EF⊥BC, ∴∠BFE=90°, ∵∠B=30°, ∴=;

(2)作EF⊥BC于F, ∵∠ABC=60°，对角线 BD 平分∠ABC，∴∠DBC=30°, ∴∠EF=BE, ∴AE+BE=AE+EF, ∴当点A、E、F三点在一条直线时，AE+BE 最小，∵∠ABF=60°, ∴∠BAF=30°, ∵AB=6, ∴BF=AB=3, ∴AF= , ∴AE+BE的最小值为.

(3) ∵y=-x+4, ∴B(0,4),A(4,0),

作PM⊥y轴于M,QN⊥y轴于N, ∴∠PMO=∠QNO=90°, ∵∠POM+MPO=∠POM+∠QON=90°∴∠MPO=∠QON, ∵PO=QO, ∴△POM≌△OQN,设BM=PM=ON=t,则OM=NQ=CN=4-t, ∴无论P在任何位置△CNQ都为等腰三角形，∠NCQ=45°,则Q点永远在直线AC上，作D点关于直线AC的对称点 , ∵D(3,0), ∴(4,-1),则DQ+NQ=Q+NQ, ∴当、Q、N共线时，Q+NQ最小，最小值是N=4.