Question

如图，设A是由n×n个有理数组成的n行n列的数表，其中a_ij（i，j＝1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的数，且a_ij取值为1或﹣1．对于数表A给出如下定义：记x_i为数表A的第i行各数之积，y_j为数表A的第j列各数之积．

令S＝（x₁+x₂+…+x_n）+（y₁+y₂+…+y_n），将S称为数表A的“积和”．

a11	a12		a1n
a21	a22		a2n
M	M		M
an1	an2		ann

（1）当n＝4时，对如下数表A，求该数表的“积和”S的值；

1	1	﹣1	﹣1
1	﹣1	1	1
1	﹣1	﹣1	1
﹣1	﹣1	1	1

（2）是否存在一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0？并说明理由；

（3）当n＝10时，直接写出数表A的“积和”S的所有可能的取值．

Answer

（1）0；（2）不存在，理由见解析；（3）﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20

【解析】

（1）由题意分别求出x1=1，x2=-1，x3=1，x4=1，y1=-1，y2=-1，y3=1，y4=-1；

（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S=0，由题意可知x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个-1，再由这些数的乘积t2=x1x2x3y1y2y3=-1，与t2≥0矛盾，即可说明不存在；

（3）n=10时，每行10个1，9个1，8个1，…，1个1，0个1，这11中情况分别求出S即可．

（1）由题意可知，

x1＝1，x2＝﹣1，x3＝1，x4＝1，

y1＝﹣1，y2＝﹣1，y3＝1，y4＝﹣1，

∴S＝2+（﹣2）＝0；

（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0，

则S＝（x1+x2+x3）+（y1+y2+y3）＝0，

∵x1、x2、x3、y1、y2、y3的值只能去1或﹣1，

∴x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个﹣1，

∴设3×3的数表A中9个数的乘积为t，

则t＝x1x2x3＝y1y2y3，

∴t2＝x1x2x3y1y2y3＝﹣1，

这与t2≥0矛盾，

故假设不成立，

∴不存在一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0；

（3）n＝10时，S的可能取值﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20．