Question

如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．

（1）∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

同理：AB=BC，∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6，

∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，

∵∠ADB=30°，

∴cos∠ADB=，

∴AD=．