Question

如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　   　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　   　．

（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．

（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）

Answer

（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；

（3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．

（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG；

②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，

由①知，△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠AGB+∠ABE=90°，

∴∠AGB+∠ADG=90°，

∵∠AGB=∠DGH，

∴∠DGH+∠ADG=90°，

∴∠DHB=90°，

∴BE⊥DG

（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

∴∠BAD=∠DAG，

∴∠BAE=∠DAG，

∵AD=2AB，AG=2AE，

∴，

∴△ABE∽△ADG，

∴∠ABE=∠ADG，

∵∠AGB+∠ABE=90°，

∴∠AGB+∠ADG=90°，

∵∠AGB=∠DGH，

∴∠DGH+∠ADG=90°，

∴∠DHB=90°，

∴BE⊥DG；

（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）

∵EG∥AB，

∴∠DME=∠DAB=90°，

在Rt△AEG中，AE=1，

∴AG=2AE=2，

根据勾股定理得，EG=，

∵AB=，

∴EG=AB，

∵EG∥AB，

∴四边形ABEG是平行四边形，

∴AG∥BE，

∵AG∥EF，

∴点B，E，F在同一条直线上如图5，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2，

由（3）知，△ABE∽△ADG，

∴，

∴，

∴DG=4．