Question

如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数（　　）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

Answer

A

【解析】

①由A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
②根据直线和双曲线的性质即可判断；
③结合图象，即可求得关于x的不等式＜0的解集；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，由点C的纵坐标为6，可求得点C的坐标，继而求得答案．

①∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，

∴点A的纵坐标为：y＝×3＝2，

∴点A（3，2），

∴k＝3×2＝6，

故①正确；

②∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）是中心对称图形，

∴A点与B点关于原点O中心对称

，故②正确；

③∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，

∴B（﹣3，﹣2），

∴关于x的不等式＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，

故③正确；

④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，

∵点C的纵坐标为6，

∴把y＝6代入y＝得：x＝1，

∴点C（1，6），

∴S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC＝×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；

故选：A．