Question

我们知道，一元二次方程x²＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i²＝﹣1（即方程x²＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i¹＝i，i²＝﹣1，i³＝i²•i＝﹣i，i⁴＝（i²）²＝（﹣1）²＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹＝i⁴ⁿ•i＝i，同理可得i⁴ⁿ⁺²＝﹣1，i⁴ⁿ⁺³＝﹣i，i⁴ⁿ＝1．那i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁸+i²⁰¹⁹的值为_____．

Answer

﹣1.

【解析】

原式利用题中的新定义化简，四项结合计算即可得到结果．

由于i4n+1＝i4n•i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．

∴i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3＝0，

∴原式＝（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+i8）+……+（i2013+i2014+i2015+i2016）+（i2017+i2018+i2019）

＝504×0﹣1

＝﹣1，

故答案为：﹣1.