Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DE与⊙O相切；

（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．

Answer

（1）见解析；（2）DF＝2．

【解析】

（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．

（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OD，

∴∠2＝∠ADO，

∴∠1＝∠ADO，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴∠ODF＝∠AED＝90°，

∴OD⊥ED，

∵OD过O，

∴DE与⊙O相切；

（2）【解析】
∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠1＝∠2，CD＝BD，

∵CD＝BF，

∴BF＝BD，

∴∠3＝∠F，

∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠4＝2∠3，

∵∠ODF＝90°，

∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，

∵∠ADB＝90°，

∴∠2＝∠1＝30°，

∴∠2＝∠F，

∴DF＝AD，

∵∠1＝30°，∠AED＝90°，

∴AD＝2ED，

∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，

∴AD＝2，

∴DF＝2．