Question

已知：二次函数y＝ax²+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12＝0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标．

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．

（3）如图，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，那个说明理由．

Answer

（1）A（﹣2，0），B（6，0）；（2）y＝﹣x2+2x+6，抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，8）；（3）P（2，4）．

【解析】

（1）解一元二次方程x2-4x-12=0，求出点A和点B的横坐标，进而得到答案；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得到a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可，进而求出顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，求出C′坐标，求出直线AC′解析式，进而求出点P的坐标．

（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x1＝﹣2，x2＝6，

即A（﹣2，0），B（6，0）；

（2）将A、B两点坐标代入二次函数y＝ax2+bx+6，

得到，

解得，

即y＝﹣x2+2x+6，

由于y＝﹣x2+2x+6＝-（x﹣2）2+8，

即抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，8）；

（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，

∵C（0，6），

∴C′（4，6），

设直线AC′解析式为y＝kx+n，

则，

解得，

∴y＝x+2，

当x＝2时，y＝4，

即P（2，4）．