Question

在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线时，求∠CC₁A₁的度数；

（2）已知AB＝6，BC＝8，

①如图2，连接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面积为16，求△ABA₁的面积；

②如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应是点P₁，直接写出线段EP₁长度的最大值．

Answer

（1）∠CC1A1＝60°；（2）△ABA1的面积＝9；（3）线段EP1长度的最大值为11.

【解析】

（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）①由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面积；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值

（1）依题意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1＝BC，∠A1C1B＝∠C＝30°，

∴∠BC1C＝∠C＝30°，

∴∠CC1A1＝60°；

（2）如图2所示：

由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B＝AB，BC1＝BC，∠A1BC1＝∠ABC，

∴∠1＝∠2，＝＝，

∴△A1BA∽△C1BC，

∴＝（）2，

∵△CBC1的面积为16，

∴△ABA1的面积＝9.

（3）线段EP1长度的最大值为11，理由如下：

如图3所示：当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，

最大值为：EP1＝BC+BE＝8+3＝11．

即线段EP1长度的最大值为11．