Question

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

(1)求证：四边形EFDG是菱形；

(2) 求证：；

(3)若AG=6，EG=2，求BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为.

【解析】

（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；

（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；

（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．

【解析】
（1）证明：∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形．

（2）EG2=GF•AF．

理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FO•AF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GF•AF．

（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即=．

∴GH=．

∴BE=AD﹣GH=4﹣=．

“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．