Question

平行四边形 ABCD 中，两条邻边长分别为3和5，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F 是CD的中点，连接EF，则EF=________.

Answer

3.5或0.5

【解析】

分两种情况讨论：①当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，由平行线的性质和角平分线的定义可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再证明∠AEB=90°，根据等腰三角形三线合一得到E为AM的中点，所以EF为梯形ADCM的中位线，根据中位线的性质可求EF；②当AB=5，BC=3时，延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，同理可证AE=EM，CM=2，再利用三角形中位线的性质可求出EF.

分两种情况：

①如图1，当AB=3，BC=5时，延长AE交BC于M，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠AMB

∵AM平分∠BAD，

∴∠DAM=∠BAM

∴∠BAM=∠AMB

∴AB=BM=3

∴CM=BC-BM=5-3=2

∵AD∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180°

又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=90°，

∴∠AEB=90°

∴BE⊥AM，

∵BA=BM

∴AE=EM

∵DF=CF

∴EF为梯形ADCM的中位线

∴EF=

②如图，当AB=5，BC=3时，

延长AE交BC的延长线于M，连接DM，延长EF与DM交于G，

同①可证：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，

EG为△ADM的中位线，FG为△CDM的中位线，

∴EG=AD=1.5，FG=CM=1，

∴EF=EG-FG=0.5

综上所述，EF的长为3.5或0.5

故答案为：3.5或0.5