Question

如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．

下列结论：

①△OCN≌△OAM；

②ON=MN；

③四边形DAMN与△MON面积相等；

④若∠MON=45⁰，MN=2，则点C的坐标为．

其中正确的个数是（   ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

C

【解析】

设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确．

设正方形OABC的边长为a，

则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．

∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，

∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．

根据勾股定理，，，

∴ON和MN不一定相等．结论②错误．

∵，

∴．结论③正确．

如图，过点O作OH⊥MN于点H，则

∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．

∵∠MON=450，MN=2，

∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．

∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．

∴．

由得，．

解得：（舍去负值）．

∴点C的坐标为．结论④正确．

∴结论正确的为①③④3个．

故选C．