Question

如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点A(2，﹣3)，与 x 轴交于点 B，且与直线y=3x-平行．

(1)求直线l的函数解析式及点B的坐标；

(2)如直线l上有一点 M(a，﹣6)，过点 M 作 x 轴的垂线，交直线 y=3x-于点N，在线段MN上求一点P，使△PAB是直角三角形，请求出点P的坐标．

Answer

（1）直线l的解析式为y=3x−9，B点坐标为(3,0)；（2）P1(1,−1)，P2(1,−2)，P3(1, ).

【解析】

（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，因为直线l与直线y=3x-平行，所以k=3，又直线l经过点A（2，-3），从而求出b的值，即可求出直线l的函数解析式及点B的坐标；

（2）点M（a，-6）在直线l上，所以可先求出a的值，设点P(1,y)，求出y的取值范围，再分情况讨论：当AB为斜边时，当PB为斜边时，当PA为斜边时，利用勾股定理建立方程求解即可．

【解析】
（1）设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0)，

∵直线l平行于y=3x-，

∴k=3，

∵直线l经过点A(2,−3)，

∴−3=3×2+b，b=−9，

∴直线l的解析式为y=3x−9,

当y=0时，x=3，

∴点B坐标为(3,0)；

(2)∵点M(a,−6)在直线l上，

∴3a-9=-6

∴a=1，则可设点P(1,y)，

当x=1时，=

∴N(1,),

∴y的取值范围是−6≤y≤，

∵P(1,y)，A(2，-3)，B (3,0)

∴，

当AB为斜边时,PA2+PB2=AB2,即，

整理得，解得y1=−1,y2=−2,

∴P1(1,−1)，P2(1,−2)，

当PB为斜边时,PA2+AB2=PB2，，

解得，

∴P3(1, )，

当PA为斜边时,PB2+AB2=PA2,即，

解得y=，

∵−6≤y≤，故y=不符合题意，舍去.

∴综上所述，点P的坐标为P1(1,−1)，P2(1,−2)，P3(1, ).