Question

如图1，在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4，0)，直线y = -x + 3经过顶点 B，与y轴交于顶点C，AB // OC.

(1)求顶点B的坐标.

(2)如 图2，直线 L 经过点 C，与直线 AB 交于点 M，点 O′为点 O 关于直线L的对称点,联 结 CO′，并延长交直线AB于第一象限的点 D，当CD=5 时，求直线 L的解析式；

(3)在(2)条件下，点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，以 P、Q、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能,请直接写出点P坐标；若不能，说明理由.

    

Answer

（1）B(4,2)；（2）；（3）P点坐标为（2,2）或（5,）或（-2,4）.

【解析】

（1）根据题意设点B的坐标为(4,y)，将x=4代入直线解析式即可求出B点纵坐标，从而得到B点坐标；

（2）过C点作CN⊥AB于N，由平行线和对称的性质可推出∠DCM=∠DMC，进而得到CD=MD=5，利用勾股定理求出DN，得到NM=2，易得AM=1，从而得到M点坐标，利用待定系数法即可求出直线L的解析式；

（3）连接OD，先求出OD直线解析式，根据点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动，可设P点坐标为（），Q点坐标为（），在分类讨论，利用平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可建立方程求解.

【解析】
(1)∵A(4,0)，AB∥OC，

∴设点B的坐标为(4,y)

把x=4代入中，得y=2，

∴B(4,2)；

(2)如图，过C点作CN⊥AB于N,

∵AB∥OC，

∴∠OCM=∠DMC，

∵点 O′为点 O 关于直线L的对称点

∴∠DCM=∠OCM，

∴∠DCM=∠DMC

∴CD=MD=5，

∵，当x=0时y=3，

∴OC=3，

∵CN=OA=4，

∴DN=，

∴NM=5−3=2，

∴AM=AN-NM=3-2=1

∴M(4,1)，

设直线L解析式y=kx+b把C(0,3)，M(4,1)代入得：

，解得，

∴直线L的解析式为：.

（3）如图，连接OD，

∵AD=AM+MD=1+5=6，AD∥OC，A点坐标为（4,0）

∴D点坐标为（4,6）

设OD直线解析式为，将（4,6）代入可得，解得

∴直线OD解析式为，

∵点P在直线 L上运动，点Q在直线OD上运动

∴设P点坐标为（），Q点坐标为（），

分情况讨论：

如图1所示，当BC、PQ为对角线时，由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得：

，解得，

当时，

∴P点坐标为（2,2）；

如图2所示，当BQ、PC为对角线时，同理可得：

，解得，

当时，

∴P点坐标为（5,）；

如图3所示，当BP、CQ为对角线时，同理可得：

，解得，

当时，

∴P点坐标为（-2,4）；

综上所述，P点坐标为：（2,2）或（5,）或（-2,4）.