Question

如图，矩形中，,,点为对角线上异于点的一个动点，联结,将沿所在的直线翻折，使得点落在点的位置

（1）当时，求点到直线的距离．

（2）联结交于,求当和相似时，线段的长．

（3）当时，请直接写出此时的面积．

Answer

（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）根据直角三角形性质求解即可

（2）根据题意，相似分为两种情况 ，一是△EPF∽△BAD，二是△EFP∽△BAD，在两种情况下分类讨论，分别求出不同情况下的值

（3）如图一、图二，首先弄清楚题目所存在的情况可能性，之后按照特殊的四边形性质以及三角形相关性质求解即可

解 （1）过E作EG⊥AB于点G，

在Rt△ABD中,AD=, AB=3,

∴∠ABD =30°，

∵∠APD=45°，

∴∠BAP=15°，

∴∠BAE = 30°

在Rt△EAG中，EA= EB=3

∴EG=

(2)①△EPF∽△BAD,

∴∠EPF = 90° ,

∵∠APB=∠APE,

∴180°-∠APD=90 °+∠APD，

∴∠APD=45°，在△APD中，∠ADP=60°，∠APD=45°，AD=，DP=

∵ BD=

∴BP=

②△EFP∽△BAD，

∴AE⊥BD，

∴∠BAF=60°，

∴∠PAD=30°，

∴AP= BP

在等腰△APB中，AB=3， ∠APB=30°，

∴BP=

综上所述:当△EPF和△ABD相似时，BP=或

（3）

如图一：∠DPE=30°，

∵∠APB=∠APE，

∴180°-∠APD=30°+∠APD,

∴∠APD=75°

∴∠PAB=45°

在△APB中，过P做PI⊥AB

AB=3，∠PAB=45°，∠PBA=30°

∴PI=

∴△APB面积=

如图二:过P做PH⊥AB于H，易得四边形PEAB为菱形

∴△APB面积=

综上所述，△APB面积为或