Question

已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．

（1）求正比例函数的表达式；

（2）在x轴上能否找到一点M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x；（2）当点M的坐标为（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，△AOM是等腰三角形．

【解析】

（1）根据点A的横坐标、△AOH的面积结合点A所在的象限，即可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式；

（2）分OM＝OA、AO＝AM、OM＝MA三种情况考虑，①当OM＝OA时，根据点A的坐标可求出OA的长度，进而可得出点M的坐标；②当AO＝AM时，由点H的坐标可求出点M的坐标；③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，利用勾股定理可求出x值，进而可得出点M的坐标．综上即可得出结论．

【解析】
（1）∵点A的横坐标为3，△AOH的面积为3，点A在第四象限，

∴点A的坐标为（3，﹣2）．

将A（3，﹣2）代入y＝kx，

﹣2＝3k，解得：k＝﹣，

∴正比例函数的表达式为y＝﹣x．

（2）①当OM＝OA时，如图1所示，

∵点A的坐标为（3，﹣2），

∴OH＝3，AH＝2，OA＝＝，

∴点M的坐标为（﹣，0）或（，0）；

②当AO＝AM时，如图2所示，

∵点H的坐标为（3，0），

∴点M的坐标为（6，0）；

③当OM＝MA时，设OM＝x，则MH＝3﹣x，

∵OM＝MA，

∴x＝ ，

解得：x＝，

∴点M的坐标为（，0）．

综上所述：当点M的坐标为（﹣，0）、（，0）、（6，0）或（，0）时，△AOM是等腰三角形．