Question

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣6，6），以A为顶点的∠BAC的两边始终与x轴交于B、C两点（B在C左面），且∠BAC＝45°．

（1）如图，连接OA，当AB＝AC时，试说明：OA＝OB．

（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，当DC＝2时，将∠BAC沿AC所在直线翻折，翻折后边AB交y轴于点M，求点M的坐标．

Answer

(1)见解析；(2) M的坐标为（0，3）或（0，-6）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质求得∠BAO和∠ABC的度数，然后利用等角对等边即可证得；
（2）当点C在点D右侧时，连接CM，过点A作AE⊥y轴于点E，证明△BAD≌△MAE，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐标；当点C在点D左侧时，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，证明△BAD≌△MAF，同理，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐标．

（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°．
过点A作AE⊥OB于E，
∵A（-6，6），
∴△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°．
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE= ∠BAC=22.5°．
∴∠BAO=67.5°=∠ABC，
∴OA=OB．
（2）设OM=x，
当点C在点D右侧时，如图2，连接CM，过点A作AE⊥y轴于点E，
由∠BAM=∠DAE=90°，
可知：∠BAD=∠MAE；
∴在△BAD和△MAE中，
，
∴△BAD≌△MAE．
∴BD=EM=6-x．
又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC=CM=8-x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M点坐标为（0，3）．
当点C在点D左侧时，如图3，连接CM，过点A作AF⊥y轴于点F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD=FM=6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC=CM=4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即82+x2=（4+x）2，
解得：x=6，
∴M点坐标为（0，-6）．
综上，M的坐标为（0，3）或（0，-6）．