Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CD平分∠ACB．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）记直线l与AB，CD的交点分别是点E，F．当AC=4时，求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）4．

【解析】

（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．
（2）连接EC，想办法证明EF=EC即可解决问题．

（1）如图所示，直线l是所求作的线段AB的垂直平分线．

（2）【解析】
连接EC．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AC=AB，∠A=60°，
∴AB=8，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=AB=4，∠AEF=90°，
∴AE=AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠AEC=∠ACE=60°，EC=AC=4，
∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ECA-∠FCA=15°，
∴∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=15°=∠ECF，
∴EF=EC=4．